3 1/2 κούπες αλεύρι
1 κούπα νερό
1/2 κούπα γάλα
1 φακελάκι ξηρή μαγιά
1 κουταλιά ζάχαρη
1 κουταλιά ελαιόλαδο
1 κουταλάκι αλάτι
Λίγο ελαιόλαδο ακόμη
Λίγο αλεύρι ακόμη
Υλικά για τη γέμιση:
1 1/2 κούπα με τριμμένη μοτσαρέλα, φέτα θρυμματισμένη και ανθότυρο θρυμματισμένο
5 αυγά
Βούτυρο
Αλάτι, πιπέρι
Πρώτα θα φτιάξουμε τη ζύμη: Σε ένα κατσαρολάκι ζεσταίνουμε ελαφρά το γάλα και το νερό (στους 40 βαθμούς ή και λίγο λιγότερους). Σε ένα πολύ μεγάλο μπωλ ανακατεύουμε το αλεύρι, τη ζάχαρη, τη μαγιά και το αλάτι. Προσθέτουμε το μείγμα του νερού και ζυμώνουμε μέχρι η ζύμη μας να γίνει λεία και ελαστική. Προσθέτουμε και το ελαιόλαδο και ξαναζυμώνουμε για λίγα λεπτά. Αλείφουμε το μπωλ μας με λίγο ελαιόλαδο και αφήνουμε εκεί τη ζύμη μας. Σκεπάζουμε το μπωλ με διαφανή μεμβράνη και το βάζουμε σε μέρος απάνεμο και ζεστό μέχρι να διπλασιαστεί η ζύμη μας. Τότε βγάζουμε προσεκτικά τη διαφανή μεμβράνη (γιατί θα την ξαναχρησιμοποιήσουμε) πιέζουμε την ζύμη με τα χέρια μας μερικές φορές και την καλύπτουμε ξανά με την διαφανή μεμβράνη. Αφήνουμε για μισή ώρα με τρία τέταρτα να ξαναφουσκώσει.
Εν τω μεταξύ φτιάχνουμε ένα μείγμα με τα τριμμένα τυριά. Βγάζουμε την ζύμη μας και την τοποθετούμε πάνω σε καλά αλευρωμένη επιφάνεια. Την κόβουμε σε 4 ίσα κομμάτια. Ανοίγουμε κάθε κομμάτι σε φύλλο με διάμετρο περίπου 22-23 εκατοστά. Στη συνέχεια τυλίγουμε τις δύο άκρες του κύκλου προς την μέση ώστε να φτιάξουμε μια ζύμη σε σχήμα βάρκας (πεϊνιρλί). Πιέζουμε τις δύο γωνίες μαζί ώστε να κλείσουν καλά. Επαναλαμβάνουμε. Μεταφέρουμε κάθε “βαρκούλα” ζύμης σε ταψί στρωμένο με αντικολλητικό χαρτί. Γεμίζουμε κάθε πεϊνιρλί με το μείγμα των τυριών. Χτυπάμε το ένα αυγό με ένα κουταλάκι νερό και αλείφουμε με αυτό την ζύμη μας. Ψήνουμε για 15-20 περίπου λεπτά τα πεϊνιρλί σε προθερμασμένο φούρνο στους 230 βαθμούς μέχρι να χρυσίσουν. Στη συνέχεια με την κοίλη πλευρά του κουταλιού φτιάχνουμε στο κέντρο κάθε πεϊνιρλί μια λακουβίτσα. Εκεί σπάμε και ρίχνουμε ένα αυγό. Ρίχνουμε λίγο αλάτι και πιπέρι πάνω του. Προσθέτουμε πολύ λεπτές φετούλες βουτύρου εδώ κι εκεί πάνω στο κάθε πεϊνιρλί μας και το βάζουμε ξανά στο φούρνο. Ψήνουμε για περίπου δέκα λεπτά ακόμη μέχρι να γίνει άσπρο (από διαφανές) το ασπράδι του αυγού μας αλλά όχι εντελώς στερεοποιημένο. Σερβίρουμε αμέσως μόλις βγουν από τον φούρνο και αν θέλουμε να τα τιμήσουμε με τον παραδοσιακό τρόπο, με ένα πιρούνι τρυπάμε τον κρόκο του αυγού και τον ανακατεύουμε με τα τυριά που έχει μέσα του το γεωργιανό πεϊνιρλί. Καλή όρεξη!